拟蒙特卡罗方法简介

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蒙特卡罗方法(Monte-Carlo,亦有译作蒙特卡洛方法),又称统计试验方法或计算机随机模拟方法,是一类通过对有关的随机变量或随机过程的随机抽样,来求解数学、物理和工程技术问题近似解的数值方法。具体来说,就是对所要求解的问题,构造一种随机变量或随机过程,使其某一数值特征(例如数学期望)为所求问题的解。然后对所构造的随机变量或随机过程进行抽样,并由得到的样本算出相应的参数值,作为所求问题的近似解。由于伪随机数的产生是随机的,所以蒙特卡罗方法的误差是概率误差,而不是真正的误差。

由于产生随机数的随机性,当我们用N个随机点以蒙特卡罗方法来求解具体的问题时,其计算得到近似解的误差值有大有小,但是肯定有一个确定的平均值,即一些误差大于此值,而其余误差小于此值。鉴于此,显然肯定存在这样的N个点,使得误差的绝对值不大于平均值。如果我们能够构造这样的点集,就可以对原有的方法进行较大的改进。拟蒙特卡罗方法就是至于此而提出的,它致力于构造其误差比平均误差显著要好的那种点集,而其求解形式与蒙特卡罗方法一致,只不过所用的随机数不一样。用蒙特卡罗方法求解问题时,影响结果好坏的主要是随机数序列的均匀性。而拟蒙特卡罗方法中的具有低偏差的一致分布点集较伪随机数序列更为均匀,而且用拟蒙特卡罗方法求解得到的是真正的误差,避免了蒙特卡罗方法得到概率误差的缺陷。

由此可见用拟蒙特卡罗方法求解问题的关键是如何找到一个均匀散布的点集。目前常用的点集有GLP点集(好格子点集,good lattice point set)、GP点集(好点集,good point set)、Halton点集及其变体、Hammersley点集等。



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